Luego de hacer una afirmación más o menos justificada sobre si el mejor pateador de penaltis de un equipo debería ser el primero en una tanda, decidí hacer un esfuerzo más grande y conseguir unos mejores resultados.

Tenemos que recordad que la probabilidad de meter un penalti es mayor a 0.70, por lo que es, a priori, una tarea relativamente fácil. No obstante, basándome en un par de artículos que han estudiado el estrés en tandas de penaltis, he decido establecer dos tipos de fuente de estrés. En primer lugar, el estrés generado por ir detrás en el marcador, ya que fallar implica perder casi con total seguridad. En segundo lugar, el estrés que surge por la posición que se ocupa en la tanda, más bajo al principio y más alto al final.

Estás dos fuentes de estrés juegan para apoyar la estrategia de colocar el mejor pateador al principio, si la primera fuente es alta y la segunda baja, o al final, si la primera es baja y la segunda es alta. No entraré a presentar el modelo, pero es una simple corrección de la probabilidad inicial de anotar un penalti. Estas probabilidades iniciales son ("a" es el primer equipo, "b" es el segundo equipo, i=1,..5, es el la posición en la tanda):

Pa1 = Pb5 = 0.80
Pa2 = Pb4 = 0.75
Pa3 = Pb3 = 0.70
Pa4 = Pb2 = 0.65
Pa5 = Pb1 = 0.60

Es decir, el equipo "a" escoge la opción decreciente (mejor a peor), mientras que el equipo "b" escoge la creciente (peor a mejor).

En las figuras podemos ver en el eje X podemos ver los cambios en el factor de estrés por ir detrás en el marcador, en el eje Y la probabilidad de un evento dado (ganar "a", ganar "b", empatar al final de la tanda) y en los diferentes paneles los cambios en el de factor de estrés por el orden ocupado en la tanda.

En la primera figura se presenta el caso cuando el equipo "a" patea primero. Podemos ver que si los dos factores de estrés son cero, las probabilidades de ganar con cada estrategia son iguales. El crecimiento de cualquiera de los factores de estrés hace que más probable la victoria del equipo "a", es decir, la estrategia creciente es mejor cuando se patea primero.

En la segunda figura se observan los resultados cuando patea primero el equipo "b". Obviamente, si los factores de estrés son cero, las probabilidades de vitoria son iguales. Ahora, si el factor de estrés asociado a ir debajo en el marcador crece, el equipo "b" sale beneficiado, aunque la diferencia entre ambas estrategias es menor que el primer caso. Al hacer crecer el factor de estrés asignado al orden el equipo "a" recorta la diferencia, especialmente para niveles bajos del factor de estrés de ir por debajo.

En conclusión, el patear primero es el factor más importante a tomar en cuenta. Si se patea primero, escoger la estrategia decreciente asegura las mayores probabilidades de obtener la victoria. Escoger la estrategia creciente no es tan eficiente cuando se patea primero, aunque con niveles altos de estrés por ir debajo y niveles bajos de estrés generado por el orden se consigue estar por encima de la estrategia decreciente. El equipo que patea primero tiene una ventaja muy grande en este sencillo modelo, algo que a priori no parece tan claro, pero que estudios en psicología parece que han probado. Si a alguien se le ocurre algo que agregar, por favor, hágalo, pues me interesa redondear el modelo.

Estoy consultado con un compañero a ver si podemos hacer un artículo teórico sobre el tema, porque me parece interesante estudiar el problema sin recurrir a la simulación. No obstante, este sencillo estudio me parece útil como punto de inicio de una discusión interesante. Si puedo, mañana haré los otros dos casos, cuando ambos equipos escogen la misma estrategia.

Espero que lo disfruten. Un saludo.